考研不等式

考研不等式

考研中不等式是一个重要的知识点，以下是一些基本的不等式及其在考研数学中的应用：

基本不等式

AM-GM不等式（算术平均-几何平均不等式）

对于任意非负实数 \（a_1, a_2, ..., a_n\），有

\[

\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}

\]

Cauchy-Schwarz不等式

设有两组实数 \（a_1, a_2, ..., a_n\） 和 \（b_1, b_2, ..., b_n\），则

\[

（a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2）

\]

柯西不等式

设 \（a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n\） 均为实数，则有

\[

（a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2）

\]

当且仅当 \（a_i = \lambda b_i\）（\lambda\） 为常数，\（i = 1, 2, ..., n\） 时取等号。

证明不等式的方法

单调性证明